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卷三十三 志第九
曆三 太陽盈縮平立定三差之原 冬至前後盈初縮末限，八十八日九十一刻，[就整。]離為六段，每段各得一十四日八十二刻。[就整。]各段實測日躔度數(shù)，與平行相較，以為積差。 積日 積差 各置其段積差，以其段積日除之，為各段日平差。 置各段日平差，與後段日平差相減，為一差。 置一差，與後段一差相減，為二差。 日平差 一差 二差 置第一段日平差，四百七十六分二十五秒，為汎平積。 以第二段二差一分三十八秒，去減第一段一差三十八分四十五秒，餘三十七分○七秒，為汎平積差。 另置第一段二差一分三十八秒，折半得六十九秒，為汎立積差。 以汎平積差三十七分○七秒，加入汎平積四百七十六分二十五秒，共得五百一十三分三十二秒，為定差。 以汎立積差六十九秒，去減汎平積差三十七分○七秒，餘三十六分三十八秒為實，以段日一十四日八十二刻為法除之，得二分四十六秒為平差。 置汎立積差六十九秒為實，以段日為法除二次，得三十一微，為立差。 夏至前後縮初盈末限，九十三日七十一刻，[就整。]離為六段，每段各得一十五日六十二刻。[就整。]各段實測日躔度數(shù)，與平行相較，以為積差。 積日 積差 推日平差、一差、二差術(shù)，與盈初縮末同。 日平差 一差 二差 置第一段日平差，四百五十一分九十二秒，為汎平積。 以第一段二差一分三十三秒，去減第一段一差三十六分四十七秒，餘三十五分一十四秒，為汎平積差。 另置第一段二差一分三十三秒折半，得六十六秒五十微，為汎立積差。 以汎平積差三十五分一十四秒，加入汎平積四百五十一分九十二秒，共四百八十七分○六秒，為定差。 以汎立積差六十六秒五十微，去減汎平差三十五分一十四秒，餘三十四分四十七秒五十微為實，以段日一十五日六二為法除之，得二分二十一秒，為平差。 置汎立積差六十六秒五十微為實，以段日為法，除二次，得二十七微，為立差。 凡求盈縮，以入曆初末日乘立差，得數(shù)以加平差，再以初末日乘之，得數(shù)以減定差，餘數(shù)以初末日乘之，為盈縮積。 凡盈曆以八十八日九○九二二五為限，縮曆以九十三日七一二○二五為限。在其限已下為初，以上轉(zhuǎn)減半歲周餘為末。盈初是從冬至後順推，縮末是從冬至前逆溯，其距冬至同，故其盈積同。縮初是從夏至後順推，盈末是從夏至前逆溯，其距夏至同，故其縮積同。 盈縮招差圖[圖闕] 盈縮招差圖說 盈縮招差，本為一象限之法。[如盈曆則以八十八日九十一刻為象限，縮曆則以九十三日七十一刻為象限。]今止作九限者，舉此為例也。其空格九行定差本數(shù)，為實也。其斜線以上平差立差之數(shù)，為法也。斜線以下空格之定差，乃餘實也。假如定差為一萬，平差為一百，立差為單一。今求九限法，以九限乘定差得九萬為實。另置平差，以九限乘二次，得八千一百。置立差，以九限乘三次，得七百二十九。幷兩數(shù)得八千八百二十九為法。以法減實，餘八萬一千一百七十一，為九限積。又法，以九限乘平差得九百，又以九限乘立差二次得八十一，幷兩數(shù)得九百八十一為法，定差一萬為實，以法減實，餘九千零一十九，即九限末位所書之定差也。於是再以九限乘餘實，得八萬一千一百七十一，為九限積，與前所得同。蓋前法是先乘後減，又法是先減後乘，其理一也。 按授時曆於七政盈縮，並以垛積招差立算，其法巧合天行，與西人用小輪推步之法，殊途同歸。然世所傳九章諸書，不載其術(shù)，曆草載其術(shù)，而不言其故。宣城梅文鼎為之圖解，於平差、立差之理，垛積之法，皆有以發(fā)明其所以然。有專書行於世，不能備錄，謹錄招差圖說，以明立法之大意云。 凡布立成 盈初縮末 置立差三十一微，以六因之，得一秒八十六微，為加分立差。置平差二分四十六秒，倍之，得四分九十二秒，加入加分立差，得四分九十三秒八十六微，為平立合差。 置定差五百一十三分三十二秒，內(nèi)減平差二分四十六秒，再減立差三十一微，餘五百一十○分八十五秒六十九微，為加分。 縮初盈末 置立差二十七微，以六因之，得一秒六十二微，為加分立差。置平差二分二十一秒，倍之，得四分四十二秒，加入加分立差，得四分四十三秒六十二微，為平立合差。 置定差四百八十七分○六秒，內(nèi)減平差二分二十一秒，再減立差二十七微，餘四百八十四分八十四秒七十三微，為加分。 已上所推，皆初日之數(shù)。其推次日，皆以加分立差，累加平立合差，為次日平立合差。以平立合差減其日加分，為次日加分。盈縮並同。其加分累積之，即盈縮積，其數(shù)並見立成。 太陰遲疾平立定三差之原 太陰轉(zhuǎn)周二十七日五十五刻四六，測分四象，象各七段，四象二十八段，每段十二限，每象八十四限，凡三百三十六限，而四象一周。以四象為法，除轉(zhuǎn)周日，得每象六日八八八六五，分為七段，每段下實測月行遲疾之數(shù)，與平行相較，以求積差。 積限 積差 各置其段積差，以其段積限為法除之，為各段限平差。 置各段限平差，與後段相減為一差。 置一差，與後段一差相減為二差。 限平差 一差 二差 置第一段限平差一十○分七二六為汎平積。 置第一段一差四十七秒七六，以第一段二差九秒三六減之，餘三十八秒四十微，為汎平積差。 另置第一段二差九秒三十六微折半，得四秒六十八微，為汎立積差。 以汎平積差三十八秒四十微，加汎平積一十○分七二六，得一十一分一十一秒。為定差。 置汎平積差三十八秒四十微，以汎立積差四秒六十八微減之，餘三十三秒七十二微為實，以十二限為法除之，得二秒八十一微，為平差。 置汎立積差四秒六十八微為實，十二限為法，除二次，得三微二十五纖，為立差。 凡求遲疾，皆以入曆日乘十二限二十分，以在八十四限已下為初，已上轉(zhuǎn)減一百六十八限餘為末。各以初末限乘立差，得數(shù)以加平差，再以初末限乘之，得數(shù)以減定差，餘以初末限乘之，為遲疾積。 其初限是從最遲最疾處順推至後，末限是從最遲最疾處逆溯至前，其距最遲疾處同，故其積度同。[太陰與太陽立法同，但太陽以定氣立限，故盈縮異數(shù)。太陰以平行立限，故遲疾同原。] 布立成法 置立差三微二十五纖，以六因之，得一十九微五十纖，為損益立差。 置平差二秒八十一微，倍之，得五秒六十二微，再加損益立差一十九微五十纖，共得五秒八十一微，為初限平立合差。自此以損益立差，累加之，即每限平立合差。至八十限下，積至二十一秒四一五，為平立合差之極。八十一限下差一秒七八○九，八十二限下一秒七八○八，至八十三限下，平立合差，與益分中分，為益分之終。八十四限下差，亦與損分中分，為損分之始。至八十六限下差，亦二十一秒四一五，自此以損益立差累減之，即每限平立合差，至末限與初限同。 置定差一十一分一十一秒，內(nèi)減平差二秒八十一微，再減立差三微二十五纖，餘一十一分○八秒一十五微七十五纖，為加分定差，即初限損益分。 置損益分，以其限平立合差益減損加之，即為次限損益分。 以益分積之，損分減之，便為其下遲疾度。 以八百二十分為一限日率，累加八百二十分為每限日率。[以上俱詳立成。] 五星平立定三差之原 凡五星各以實測，分其行度為八段，以求積差，略如日月法。 木星[立差加，平差減。] 積日 積差 汎平差 汎平較 汎立較 各置其段所測積差度分為實，以段日為法除之，為汎平差。各以汎平差與次段汎平差相較，為汎平較。 又以汎平較與次段汎平較相較，為汎立較。 置第一段汎平較三十九秒一六二一，減其下汎立較六秒二四二二，餘三十二秒九一九九，為初段平立較。加初段汎平差一十分五六七八○一，共得一十○分八十九秒七十○微，為定差。[秒置萬位。] 置初段平立較差三十二秒九一九九，內(nèi)減汎立較之半，三秒一二一一，餘二十九秒七九八八，以段日一十一日五十刻除之，得二秒五十九微一十二纖，為平差。 置汎立差之半，三秒一二一一，以段日為法除二次，得二微三十六纖，為立差。 已上為木星平立定三差之原。 火星盈初縮末。[立差減，平差減。] 積日 積差 汎平差 汎平較 汎立較 汎平較前多後少，應加汎立較。 置初段下汎平較六分一三九八四七二九六八七五，加汎立較一十三秒一九七九二一八七五，得六分二七一八二六五一五六二五，為初日下平立較。 置初段汎平差八十二分二十○秒六五七三四八四三七五，加初日下平立較六分二七一八二六五一五六二五，得八十八分四十七秒八十四微，為定差。 置初日下平立較六分二七一八二六五一五六二五，加汎立較之半，六秒五九八九六○九三七五，得六分三三七八一六一二五為實，以段日而一，得八十三秒一十一微八十九纖，為平差。 置汎立較之半，六秒五九八九六○九三七五，以段日七日六十二刻五十分為法除二次，得一十一微三十五纖為立差。 火星縮初盈末[平差負減，立差減。] 積日 積差 汎平差 汎平較 汎立較 取汎立較均停者，三十九秒五八二一三七五，以較一段下汎平較一十三秒二六四八三一二五，餘二十六秒三一七三○六二五為較較，以加一段下汎平差二十九分七一三一二六九三七五，得二十九分九十七秒六十三微，為定差。 置較較二十六秒三一七三○六二五，以段日一十五日二十五刻而一，得一秒七二五七二五。再置汎立較之半一十九秒七九一○六八七五，以段日而一，得一秒二九七七七五。兩數(shù)並得三秒○二微三十五纖，為平差。 置汎立較之半一十九秒七九一○六八七五，以段日一十五日二五為法除二次，得八微五十一纖，為立差。 已上為火星平立定三差之原。 土星盈曆[立差加，平差減。] 積日 積差 汎平差 汎平較 汎立較 置第一段下汎平較，內(nèi)減其下汎立較，餘五十○秒九一七九七五，為平立較。 以平立較，加本段汎平差，得一十五分一十四秒六十一微，為定差。 置平立較，內(nèi)減汎立較之半，三秒七四二六七五，餘四十七秒一七五三，以段日十一日五十刻而一，得四秒一十○微二十二纖，為平差。 置汎立較之半，以段日除二次，得二微八十三纖，為立差。 土星縮曆[立差加，平差減。] 積日 積差 汎平差 汎平較 汎立較 置一段汎平較，內(nèi)減其下汎立較，餘二十一秒七七二三七五，為平立較。以平立較加入本段汎平差，得一十一分○一秒七十五微，為定差。 置平立較，內(nèi)減汎立較之半，四秒三七七四七五，餘一十七秒三九四九，以段日一十一日五十刻為法除之，得一秒五十一微二十六纖，為平差。 置汎立較之半，以段日為法除二次，得三微三十一纖，為立差。 已上為土星平立定三差之原。 金星[立差加，平差減。] 積日 積差 汎平差 汎平較 汎立較 置一段下汎平較，與其汎立較相減，餘一秒八六八一七五為平立較，以加汎平差，得三分五十一秒五十五微，為定差。 置平立較，與汎立較之半，一秒八六四七二五相減，餘三十四纖，以段日一十一日五十刻為法除之，得三纖，為平差。 置汎立較之半，以段日為法除二次，得一微四十一纖，為立差。 已上為金星平立定三差之原。 水星[立差加，平差減。] 積日 積差 汎平差 汎平較 汎立較 術(shù)同金星，求得定差三分八十七秒九十微，平差二十一微六十五纖，立差一微四十一纖。 已上為水星平立定三差之原。 右五星，皆以立差為秒，平差為本，定差為總。五星各以段次因秒，木土金水四星併本，惟火星較本，各以積日而積，五星皆較總，又各以積日乘之，得各實測之度分。 五星積日，皆以度率，除周日得三百六十五度二十五分太。各以四分之一為象限，惟火星用象限三之一，減象限為盈初縮末限，加象限為縮初盈末限。其命度為日者，為各取盈縮曆乘除之便，其實積日之數(shù)，即積度也。 里差刻漏 求二至差股及出入差。 術(shù)曰：置所測北極出地四十度九十五分為半弧背，以前割圓弧矢法，推得出地半弧弦三十九度二十六分，為大三斜中股。 置測到二至黃赤道內(nèi)外度二十三度九十分為半弧背，以前法推得內(nèi)外半弧弦二十三度七十一分。[又為黃赤道大句，又為小三斜弦。] 置內(nèi)外半弧弦自之為句冪，半徑自之為弦冪，二冪相減，開方得股，以股轉(zhuǎn)減半徑，餘四度八十一分為二至出入矢，即黃赤道內(nèi)外矢。 夏至日，南至地平七十四度二十六分半為半弧背，求得日下至地半弧弦五十八度四十五分。 半徑六十○度八十七分半，為大三斜中弦。 置大三斜中股三十九度二十六分，以二至內(nèi)外半弧弦二十三度七十一分乘之為實，以半徑六十○度八十七分半為法除之，得一十五度二十九分，為小三斜中股。[又為小股。] 置小三斜中股一十五度二十九分，去減日下至地半弧弦五十八度四十五分，餘四十三度一十六分，為大股。 以出入矢四度八十一分，去減半徑六十○度八十七分半，餘五十六度○六分半，為大股弦。 置大股弦，以小股一十五度二九乘之為實，大股四十三度一六為法除之，得一十九度八十七分為小弦，即為二至出入差半弧弦。 置二至出入差半弧弦，依法求到二至出入差半弧背一十九度九十六分一十四秒。 置二至出入差半弧背一十九度九六一四，以二至黃赤道內(nèi)外半弧弦二十三度七十一分除之，得八十四分一十九秒，為度差分。 求黃道每度晝夜刻。 術(shù)曰：置所求每度黃赤道內(nèi)外半弧弦，以二至出入差半弧背乘之為實，二至黃赤道內(nèi)外半弧弦為法除之，為每度出入差半弧背。[又術(shù)：置黃赤道內(nèi)外半弧弦，以度差八十四分一十九秒乘之，亦得出入差半弧背。] 置半徑內(nèi)減黃赤道內(nèi)外矢，[即赤道二弦差，見前條立成。]餘數(shù)倍之，又三因之，得數(shù)加一度，為日行百刻度。[又術(shù)：以黃赤道內(nèi)外矢倍之，以減全徑餘數(shù)，三因加一度，為日行百刻度，亦同。] 置每度出入半弧背，以百刻乘之為實，日行百刻度為法除之，得數(shù)為出入差刻。 置二十五刻，以出入差刻視黃道，在赤道內(nèi)加之，在赤道外減之，得數(shù)為半晝刻，倍之為晝刻，以減百刻，為夜刻。 如求冬至後四十四度晝夜刻。 術(shù)曰：置冬至後四十四度黃赤道內(nèi)外半弧弦一十七度二十五分六十九秒，[又為黃赤道小弧弦，前立成中取之。]以二至出入差半弧背一十九度九十六分一十四秒乘之為實，以二至黃赤道內(nèi)外半弧弦二十三度七十一分為法除之，得一十四度五十二分八十五秒，為出入半弧背。[又法：置黃赤道內(nèi)外半弧弦一十七度二五六九，以度差○度八四一九乘之，亦得一十四度五二八五，為出入半弧背。] 置半徑六十○度八七五，以四十四度黃赤道內(nèi)外矢二度五十一分八十一秒[又為赤道二弦差，前立成中取之。]減之，餘五十八度三十五分六十九秒，[即赤道小弦。]倍之，得一百一十六度七十一分三十八秒，三因之，加一度，得三百五十一度一十四分一十四秒，為日行百刻度。[又術(shù)：倍黃赤道內(nèi)外矢得五度○三分六十二秒，以減全徑一百二十一度七十五分，亦得一百一十六度七十一分三十八秒，三因加一度，為日行百刻度，亦同。 ]置出入半弧背一十四度五十二分八十五秒，以百刻乘之為實，以日行百刻度三百五十一度一十四分一十四秒為法除之，得四刻一十三分七十五秒，為出入差刻。 置二十五刻，以出入差刻四刻一十三分七十五秒減之，[因冬至後四十四度，黃道在赤道外，故減。]餘二十○刻八十六分二十五秒，為半晝刻。倍之得四十一刻七十二分半，為晝刻。以晝刻減百刻，餘五十八刻二十七分半，為夜刻。[又術(shù)：置出入差刻四刻一十三分七十五秒，倍之，得八刻二十七分半，以減春秋分晝夜五十刻，得四十一刻七十二分半，為晝刻。以倍刻加五十刻，得五十八刻二十七分半，為夜刻。晝減故夜加，餘倣此。] 黃道每度晝夜刻立成
右曆草所載晝夜刻分，乃大都[即燕京]晷漏也。夏晝、冬夜極長，六十一刻八十四分，冬晝、夏夜極短，三十八刻一十六分。明既遷都於燕，不知遵用。惟正統(tǒng)己巳奏準頒曆用六十一刻，而羣然非之。景泰初仍復用南京晷刻，終明之世未能改正也。 二至出入差圖[圖闕]
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